Carlos Gershenson 9051

Lógica II Marzo, 2000

Introducción

En las primeras décadas del siglo veinte, Ludwig Wittgenstein dejó claro, que todos los problemas ⁽¹⁾ de la filosofía, eran problemas del lenguaje. Para acabar con el mal que asolaba a la pobre filosofía, un grupo de valientes se propuso la tarea de rescatar a la pobre filosofía de las garras de la ambigüedad, las fauces de la indeterminación y del embrujo de las perversas paradojas. Este grupo de valientes fue conocido como "Los neopositivistas". Alfred Tarski perteneció a este audaz grupo.

Dado que los problemas de la filosofía eran causa de la ambigüedad del lenguaje, era lógico (aristotélicamente) atacar y arrancar de raíz esta ambigüedad, por lo menos del lenguaje científico y filosófico. Un intento de realizar esto en las matemáticas fue dado a principios del siglo por Bertrand Russell y Alfred Whitehead, en sus Principia Mathematica [7]. Para expulsar las autoreferencias, y las paradojas que éstas conllevaban, de las matemáticas, los autores se dispusieron a basar todas las matemáticas conocidas hasta ese entonces en la lógica formal. Fue hasta 1931, que Kurt Gödel demostró [4], que la autoreferencia se encontraba desde un principio en los Principia Mathematica. Simplemente, Gödel representó a los axiomas de los Principia Mathematica en términos de números. Y relacionándolos con elementos de teoría de números, que los Principia Mathematica definía, explicó teoría de números en términos de teoría de números. Pero en la demostración de su famoso "Teorema de la Incompletitud", se puede deducir que Gödel demuestra que ningún sistema formal (basado en axiomas) es demostrable a sí mismo (o bien, que no es completo).

No obstante, los neopositivistas, también conocidos como positivistas lógicos (a los cuales Gödel también pertenecía), siguieron intentando hacer ajustes en los lenguajes, para expulsar a las malvadas paradojas de ellos.

El trabajo de Tarski [6] es uno de esos intentos.

Discusión

En su trabajo, Tarski se propone llegar a una definición satisfactoria de la noción del término "verdad". Ésta definición sería materialmente adecuada y formalmente correcta. Pero desde un principio, Tarski advierte que el problema, debido a su generalidad, no puede considerarse de una forma inequívoca. La adecuación material serviría para deshacerse de la ambigüedad; mientras que la corrección formal, requerirá de una descripción de la estructura formal del lenguaje en el cual se dará la definición de verdad. Desde este punto, la definición no se podría aplicar al lenguaje natural, ya que éste no es formal ⁽²⁾.

Tarski se propone aplicar el término "verdad" sólo a enunciados, y no a proposiciones; debido a la ambigüedad de la definición de estas últimas. Esto lleva a relacionar a la noción de "verdad", así como a un enunciado, a un lenguaje específico.

En cuanto al significado (o intensión) del término "verdad", es claro que es extremadamente ambiguo. Tarski cita la definición de Aristóteles de "verdad": "El decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso; mientras que el decide lo que es que es, o de lo que no es que no es, es verdadero". Adapta esta definición a terminología moderna como: "La verdad de un enunciado consiste en su concordancia con (correspondencia con) la realidad". Aquí podríamos objetar un problema de percepción: no es posible demostrar con la mente qué es la realidad, ya que podemos definir a la realidad como "aquello que perciben nuestros sentidos". Y la validez de nuestros sentidos sólo es probable empíricamente. También en estas definiciones hay un problema de contexto. Algo puede cambiar su valor de verdad al cambiar de contexto. Y en el fondo de todo, se esconde una metafísica, en la cual la noción de "verdad" debe estar basada. Y, usando el teorema de la incompletitud de Gödel, podemos demostrar que esta verdad no podrá demostrar a la metafísica que la propone (no se puede encontrar la verdad de la metafísica). Estos son sólo algunos de los problemas que presentan estas definiciones de verdad, que aunque Tarksi no discute ninguna, es claro que estas no son definiciones satisfactorias de verdad.

Para obtener la adecuación, Tarski distingue primero entre los nombres de los enunciados, y los enunciados en sí, para evitar autoreferencias. Pero como demostró Gödel, las autoreferencias siempre estarán ahí.

La concepción de "verdad" de Tarski es semántica. Esta última trata de "ciertas" relaciones entre las expresiones de un lenguaje, y los objetos a los cuales se refieren esas expresiones. Algunas de estas relaciones pueden ser: designación, satisfacción y definición. Pero el término "verdad" no establece una relación entre expresiones y objetos. Expresa una propiedad de las expresiones (en este caso, enunciados). Aunque, Tarski mismo indica que la semántica no resuelve todos los problemas de una definición de verdad.

Para evitar paradojas y antinominias, Tarski decide definir su concepto de "verdad" sobre un lenguaje "especificado exactamente" (formal). Esto es, que se caractericen sin ambigüedades las palabras y expresiones que se vayan a considerar con sentido. Para esto requiere de axiomas, reglas de inferencia, y teoremas. Aunque sea un lenguaje formal, gracias a Gödel hemos visto que no es posible desterrar a las paradojas. Entonces, ¿por qué no tratar de comprenderlas? Desde aquí los intentos de Tarski pierden toda esperanza.

Principalmente, Tarski describe a las causas que provocan la inconsistencia de los lenguajes cerrados:

1. Hemos asumido que el lenguaje contiene tanto a las expresiones, como a los nombres de las expresiones. Por consiguiente, es directamente autoreferencial.
2. Hemos asumido que en el lenguaje rigen las leyes ordinarias de la lógica.

Tarski califica de "superfluo" el querer cambiar la lógica ("suponiendo que sea posible"), para poder resolver el problema por el punto dos. La lógica depende directamente de sus axiomas. En el caso de la aristotélica, estos son: "algo sólo puede ser verdadero ó falso, pero no otra cosa, ni las dos al mismo tiempo". Al cambiar los axiomas, se cambia la lógica. Así se crearon las lógicas paraconsistentes [5]. En las lógicas paraconsistentes, se admite que se pueda llegar a una conclusión a base de premisas contradictorias. Por lo tanto, las paradojas, al comprenderse, dejan de ser contradictorias [2][3]. Y podemos decir además, que una lógica paraconsistente, es completa e incompleta al mismo tiempo. El problema de la definición de "verdad", así como todos los "problemas" que son implicaciones de paradojas, son problemas esencialmente lógicos. Si es un problema lógico, ¿por qué tratar de formalizar al lenguaje natural, cuando de todos modos si fuese formal habría paradojas? Eso, es ponerle a la filosofía zapatos que no le quedan. Si la lógica no contiene al lenguaje, los más adecuado sería desarrollar una lógica que lo contenga, y no mutilar al lenguaje para que entre a teoremazos.

Pero bueno, para Tarski seamos superfluos, y sigamos con su exposición, la cual se dirige a atacar el problema por el punto 1. Esto es, prohibir que un lenguaje se describa a sí mismo. ¡Pero un lenguaje sin autoreferencia no es lenguaje! ¡Todas las limitaciones impuestas! ¡Por los bigotes de Nietzsche! ¡El fascismo lingüístico! En fin, para lograr esto, Tarski propone un lenguaje-objeto, el cual básicamente se referirá solamente a describir objetos, y un meta-lenguaje, el cual tendrá una mayor jerarquía, y podrá decir si un enunciado del lenguaje-objeto es verdadero o falso. Pero entonces, ¿cómo puedo obtener la verdad de una frase del meta-lenguaje? ¿Con un meta-meta-lenguaje, y así creo meta-lenguajes ad infinitum?

Para dar su definición de "verdad", Tarksi emplea el término semántico de satisfacción. Entonces, define que "un enunciado es verdadero si es satisfecho por todos los objetos, y falso en otro caso". Podemos decir que su definición es satisfactoria, después de todas las limitaciones que puso antes de plantearla. Es satisfactoria, pero no es muy útil. Es satisfactoria solamente para lenguajes teóricos especialmente diseñados para que cumplan con esa definición. No es aplicable al lenguaje natural, al científico, al filosófico, y a muchos lenguajes formales.

¿Por qué no, para no meterse en problemas, los filósofos hicieron como Newton? Cuando a éste le preguntaron, que por qué no definía movimiento, tiempo y materia, dijo que no veía el caso, ya que eran "bien conocidos de todos"[1]. Es decir, ¿cómo podemos pretender definir un concepto en el que se basa nuestro lenguaje, como el de verdad, usando conceptos que se basan en el concepto que queremos definir, queriendo expulsar a la autoreferencialidad? La autoreferencia es la única vía para intentar una definición. Pero el objeto de una definición es el de unificar y delimitar conceptos. Y en estos casos, en el de definiciones de conceptos generales (o primarios), las definiciones mismas no logran ni unificar ni delimitar lo que tratan de definir, ya que hay muchas definiciones para un concepto. Sería iluso aspirar a una definición completa sin que ésta fuese infinita. Pero es claro que las definiciones, aunque incompletas, como la de Tarski, delimitan parcialmente lo que tratan de definir. ¿Cómo describir algo que se usa para describir a las cosas? Es debido a esto que no comentaremos acerca de las críticas hechas al trabajo de Tarski, y las respuestas de éste.

En cuanto a los comentarios finales de Tarski, en los cuales responde a los pragmáticos que cuestionan la aplicación del trabajo matemático, se darán a continuación algunas opiniones personales. Personalmente, he tenido la misma experiencia con mis alumnos, cuando cuestionan la aplicación de algún ejercicio mental que les propongo. La aplicación (o la finalidad) no es directa, ya que afecta al pensamiento en el cual se desarrollan las aplicaciones. Es decir, la teoría "sin aplicaciones", afecta al pensamiento. Enseña a la gente a pensar y a ejercitar la mente. No se pueden crear aplicaciones si uno no sabe pensar.

Conclusiones

De ninguna manera el trabajo de Tarski no es importante. Alcanza lo que Tarksi se propuso: hacer una definición parcial y limitada de "verdad" en un sistema formal cerrado. No será práctica, pero indudablemente define mejor la noción de "verdad". No es necesario saber qué significan las palabras para usarlas. Manejamos un automóvil sin saber nada de mecánica. Utilizamos una computadora sin saber algo de electrónica. Pensamos sin saber cómo, amamos sin saber qué es el amor, y vivimos sin saber qué es la vida. Pero es necesario por lo menos tener una idea. Y Tarski da una muy buena idea de qué podemos entender por "verdad".

Referencias

[1] Dampier, Sir William Cecil. Historia de la ciencia y sus relaciones con la filosofía y la religión. Madrid, Tecnos, 3a ed., 1997.

[2] Gershenson, C. Lógica multidimensional: un modelo de lógica paraconsistente. XI Congreso Nacional ANIEI, Memorias, Xalapa, México. 1998, pp. 132-141.

[3] Gershenson, C. Modelling Emotions with Multidimensional Logic. Proceedings of the 18th International Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society (NAFIPS '99), New York City, NY, pp. 42-46.

[4] Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. XXXVIII, 1931, pp. 173-198.

[5] Priest, G. and Tanaka, K. Paraconsistent Logic, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 1996.

[6] Tarski, Alfred. The Semantic Conception of Truth. Philosophy and Phenomenological Research vol. 4, 1943-44, pp. 341-375.

[7] Whitehead, A. N. y Russell, B. Principia Mathematica. Cambridge University Press, 1910.

1. En la filosofía no hay problemas, sólo hay opiniones (como ésta).

2. Según Paul Feyerabend (anarquista), la ciencia requiere de un constante mal uso del lenguaje para que pueda haber evolución en el conocimiento.